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 * Scilab ( http://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
 * Copyright (C) ???? - 2008 - INRIA
 * Copyright (C) 2011 - DIGITEO - Michael Baudin
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<refentry version="5.0-subset Scilab" xml:id="roots" xml:lang="fr"
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  <refnamediv>
    <refname>roots</refname>

    <refpurpose>racines d'un polynôme</refpurpose>
  </refnamediv>

  <refsynopsisdiv>
    <title>Séquence d'appel</title>

    <synopsis>
	x=roots(p)
	x=roots(p,"algo")
	</synopsis>
  </refsynopsisdiv>

  <refsection>
    <title>Paramètres</title>

    <variablelist>
      <varlistentry>
        <term>p</term>

        <listitem>
          <para>
		  un polynôme réel ou complexe, ou 
		  une m-par-1 or 1-par-m matrice de doubles, les coefficients du polynômes par ordre de puissance décroissante.
		  </para>
        </listitem>
      </varlistentry>
	  
	<varlistentry>
        <term>algo</term>

        <listitem>
          <para>
		  une chaîne de caractères, l'algorithme à utiliser (défaut algo="f").
		  Si algo="e", alors les valeurs propres de la matrice compagnion sont utilisées.
		  Si algo="f", alors l'algorithme de Jenkins-Traub est utilisé (si les coefficients 
		  du polynôme sont réels et que le degré du polynôme est plus petit que 100).
		  Si algo="f" et que le polynôme est complexe, alors une erreur est générée.
		  Si algo="f" et que le polynôme est de degré inférieur à 100, alors une erreur est 
		  générée.
		  </para>
        </listitem>
      </varlistentry>
	  
    </variablelist>
  </refsection>

  <refsection>
    <title>Description</title>

    <para>
	Cette fonction retourne dans le vecteur complexe
    <literal>x</literal> les racines du polynôme <literal>p</literal>. 
	</para>
	
    <para>
	L'option "f" utilise l'algorithme rapide RPOLY, fondé sur la méthode de Jenkins-Traub. 
	</para>
	
    <para>
	Pour les polynôme réels de degré inférieur à 100, on peut utiliser 
	l'option "f", qui peut être plus rapide dans certains cas.
	Toutefois, certains polynômes sont susceptibles de poser des problèmes 
	de convergences pour l'algorithme associé à l'option "f".
	</para>
  </refsection>

  <refsection>
    <title>Exemples</title>

	<para>
	Dans les exemples suivants, on calcule des racines de polynômes.
	</para>

    <programlisting role="example"><![CDATA[
// Un polynôme réel.
p = poly([1 2 3],"x")
roots(p)
// Les coefficients du polynôme sont donnés.
p = [3 2 1]
roots(p)
// Les racines d'un polynôme complexe.
p=poly([0,10,1+%i,1-%i],'x');
roots(p)
// Les racines du polynôme caractéristique d'une matrice.
A=rand(3,3);
p = poly(A,'x')
roots(p)
spec(A)
 ]]></programlisting>
 
	<para>
	La représentation polynômiale peut avoir un impact significatif sur les 
	racines.
	Dans l'exemple suivant, suggéré par Wilkinson dans les années 60 et présenté 
	par Moler, on considère une matrice dont les termes diagonaux sont égaux 
	à 1, 2, ..., 20. 
	Bien entendu, les racines du polynôme caractéristique sont 1, 2, ..., 20.
	Si on calcule le polynôme caractéristique associé et qu'on calcule ses 
	racines, on peut voir qu'elles sont significativement différentes des 
	valeurs attendues.
	Cela montre que le seul fait de représenter les coefficients dans 
	des doubles IEEE change les racines.
	</para>

    <programlisting role="example"><![CDATA[
A = diag(1:20);
p = poly(A,'x')
roots(p)
 ]]></programlisting>

	<para>
	L'option "f" produit une erreur si le polynôme est complexe 
	ou que le degré est plus grand que 100.
	</para>

    <programlisting role="example"><![CDATA[
 // Le cas suivant produit une erreur
 p = %i+%s;
 roots(p,"f")
 // Le cas suivant produit une erreur
 p = ones(101,1);
 roots(p,"f")
 ]]></programlisting>
  </refsection>

  <refsection role="see also">
<title>Voir aussi</title>

    <simplelist type="inline">
      <member><link linkend="poly">poly</link></member>

      <member><link linkend="spec">spec</link></member>

      <member><link linkend="companion">companion</link></member>
    </simplelist>
  </refsection>

  <refsection>
    <title>Auteurs</title>

    <simplelist type="vert">
      <member>
	  Serge Steer (INRIA)
	  </member>
      <member>
	  Copyright (C) 2011 - DIGITEO - Michael Baudin
	  </member>
    </simplelist>
  </refsection>

  <refsection>
    <title>Bibliographie</title>

    <para>
	La routine RPOLY est decrite dans "Algorithm 493: Zeros of a Real
    Polynomial", ACM TOMS Volume 1, Issue 2 (June 1975), pp. 178-189
	</para>
  </refsection>

  <refsection>
    <title>Fonctions Utilisées</title>

    <para>
	Le code source de rpoly.f peut être trouvé dans le repertoire
	    SCI/modules/polynomials/src/fortran de la distribution source de Scilab. Dans le cas où la
    matrix compagnon est utilisée, le calcul des valeurs propres est effectué
    en utilisant les routines DGEEV et ZGEEV de LAPACK.
	</para>
  </refsection>
</refentry>